Cicloidi, epicicloidi, ipocicloidi, trocoidi
R. Tartini Liceo di Bellinzona
La Cicloide
La cicloide è la curva descritta da un punto P di una circonferenza di centro C eraggio a che rotola su una retta fissa senza scivolare.
L'angolo C'CP misura t radianti, il centro C si sposta orizzontalmente di una lunghezza pari all'arco C'P = at.
Vale quindi:
PK = P'C' = a.sin(t)
CK = a.cos(t)
Da cui:
OP' = OC' - P'C' = at -a.sin(t)
P'P = C'C - CK = a - a.cos(t)
Le equazioni parametriche della cicloide sono quindi:
Per visualizzare la curva premere il bottone cicloide nella demo
Allungando o raccorciando il segmento CP si ottiene la cicloide allungata o raccorciata
Il segmento CP viene allungato (o raccorciato) in modo che
(nell' applet viene aggiunta o tolta un'asta al raggio in modo che CP= raggio + asta)
È facile verificare che le equazioni parametriche diventano in questo caso
Per visualizzare le cicloidi allungate o raccorciate premere il pulsante Dati cicloide e modificare il valore (positivo o negativo) dell'asta aggiunta al raggio.
Le epicicloidi
Se la circonferenza mobile rotola esterna a una circonferenza fissa il punto P descrive una epicicloide
Sia a il raggio della circonferenza fissa, b quello della circonferenza mobile, t l'angolo C'OC percorso
Il vettore posizione di P è uguale alla somma
dove
La circonferenza mobile percorre un arco pari ad at, l'angolo risulta quindi essere
da cui
ne risulta
L'equazione parametrica delle epicicloidi è quindi
Le ipocicloidi
L' ipocicloide si ottiene quando la circonferenza mobile rotola interna alla circonferenza fissa.
L'equazione parametrica, ricavata in modo analogo a quanto fatto per le epicicloidi, è
Un caso particolare dell'epicicloide è la cardiode, curva ottenuta nel caso in cui circonferenza fissa e circonferenza mobile hanno stesso raggio.
Una curiosità delle ipocicloidi è il segmento di retta ottenuto quando la circonferenza fissa ha il raggio doppio rispetto alla mobile
Le trocoidi
Le trocoidi vengono ottenute quando il segmento CP (asta) viene allungato o raccorciato, esse rappresentano una generalizzazione delle epi- e delle ipocicloidi .
Se la circonferenza mobile è esterna si ottengono le epitrocoidi
L'equazione parametrica è
Quando la circonferenza mobile è interna si ottengono le ipotrocoidi
L'equazione parametrica è
Per visualizzare le trocoidi premere il pulsante Trocoide rispettivamente Dati trocoide per modificare raggi e asta.
Alcuni casi particolari:
La nefroide: è l'epicicloide dove il raggio del cerchio fisso è il doppio del raggio del cerchio mobile:
Es: rag1 = 2 ; rag2 = 1 ; asta = 0.0
Ecco alcuni esempi dove il raggio della circonferenza mobile esterna è
:
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Deltoide: ipocicloide dove
Es: rag1 = 2.4; rag2 = 0.8;asta = 0.0; interna;
Ecco alcuni esempi dove il raggio della circonferenza mobile è:
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